オザノート

数理統計学メモ

はじめまして

先日、東京大学出版会から出版されている「統計学入門」を読み終わり、統計学にどハマりしました。この記事では、裳華房から出版されている「数理統計学」を読んで学んだことをメモしていきます。目指せ、統計マスター！

統計学入門 (基礎統計学Ⅰ)

統計学入門 (基礎統計学Ⅰ)

発売日: 1991/07/09
メディア: 単行本

数理統計学 (数学シリーズ)

数理統計学 (数学シリーズ)

作者:宣生, 稲垣
発売日: 2003/02/25
メディア: 単行本

２章　確率変数と確率分布

第一章及び第二章三節までは、基本的な部分なので割愛します。

2.4 分布関数の変換

確率変数のの関数として、 $h(X)=e^{-tX}$ とすれば、その平均はラプラス変換 $L(t)=E(e^{-tx})$ である。

しかし、統計学では $M(t)=L(-t)$ で定義される関数：

$M(t)=E(e^{tx})=\int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}dF(x)\$

を使い、これを積率母関数と呼ぶ。

積率母関数の以下の性質により、任意次数のモーメントを求めることができる。

$\frac{d^kM(t)}{dt^k}=\int_{-\infty}^{\infty} x^ke^{tx}dF(x)$ 　　 $\therefore \left.\frac{d^kM(t)}{dt^k}\right|_{t=0}=E(X^k)$

　積率母関数の対数 $\psi(t)=\log M(t)$ をキュミラント母関数といい、次のことが成り立つ：

$\psi'(t)=\frac{M'(t)}{M(t)},\\\therefore \psi'(0)=M'(0)=E(X)　(\because M(0)=1)\\\psi''(t)=\frac{M''(t)M(t)-M'(t)^2}{M(t)^2},\\\therefore \psi''(0)=M''(0)-M'(0)^2=E(X^2)-{E(X)}^2=V(X)$

次に, $h(X)=e^{itX}$ とすれば、その平均はフーリエ変換である：

$\phi(t)=E(e^{itX})=\int_{-\infty}^{\infty} e^{itx}dF(x)$

これを特性関数という。

$\phi(t)=M(it)$ が成り立つ。

非負整数値をとる算術分布に対して, $h(X)=t^X$ の平均は

$\begin{equation} P(t)\equiv E(t^X)=\sum_{x=0}^{\infty}t^xf(x)\end{equation},　|t|\le 1$

となり、これを $X$ の確率母関数という

冪級数展開して係数を比較すると,

$\begin{equation} P(t)=\sum_{x=0}^{\infty}\frac{P^x(0)}{x!}t^x\end{equation},　\therefore f(x)=\frac{P^x(0)}{x!}$

ここで,

$P^{(k)}(t)=\sum_{x=0}^{\infty}x(x-1)\cdots (x-k+1)t^{x-k}f(x)$

$\therefore P^{(k)}(1)=\sum_{x=0}^{\infty}x(x-1)\cdots (x-k+1) f(x)$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=E\{X(X-1)\cdots(X-k+1)\}=E\{X^{[k]}\}$

より、確率母関数から階乗モーメントを求めることができる。

$M(t)=P(e^t),　\phi(t)=P(e^{it})$ が成り立つ。

定理2.1 (1)[一致性] 分布関数 $F_1, F_2$ , それぞれの特性関数 $\phi_1, \phi_2$ に対して以下が成り立つ：

$\,\,\,\,\,F_1=F_2\Leftrightarrow \phi_1=\phi_2$

(2)[連続性] 分布関数の列 $F_n$ , それに対する特性関数の列 $\phi_n$ に対して以下が成り立つ：

$\lim_{n\to\infty}F_n(x)=F(x)\Leftrightarrow \lim_{n\to\infty}\phi_n(t)=\phi(t)$

ハオで晩飯食べてきた！　ニイハオ！